sábado, 1 de diciembre de 2012

El producto de Euler



Vamos a continuar la serie de nuestras "investigaciones". El otro día hablábamos del 'producto de Euler'. Consiste en ir obteniendo términos de una serie por multiplicaciones sucesivas, a partir del término general p²/(p²-1), siendo p los sucesivos números primos: 2,3,5,7,11,... Esto lo puede hacer cualquiera hasta mentalmente (mejor con una calculadora). Si te sabes de memoria por lo menos los primeros 10 números primos no tienes que hacer otra cosa que elevarlos al cuadrado y luego dividir por ese mismo número menos 1; cada resultado lo multiplicas por el anterior. Así: (4/3), (4/3)*(9/8), (4/3)*(9/8)*(25/24), (4/3)*(9/8)*(25/24)*(49/48)*...
Y decíamos que sorprendentemente el límite de esta serie era también pi²/6, lo mismo que para la serie 1/n² del problema de Basilea. Qué tienen que ver estas series entre sí para tener el mismo límite, y además un límite en el que entra el número pi me parece que sigue siendo un misterio. El otro día puse un programilla para calcular los primeros 400 términos de la serie 1/n². Hoy pongo otro para calcular los primeros 31 términos de esta otra. Esta converge mucho más rápidamente, como podemos ver. El programa está en Python, que es muy elegante para hacer cosas sencillas como esta. Efectivamente, basta con darle los primeros 31 números primos en una lista, en vez de obligarle a obtenerlos, que también lo podríamos hacer.
Vemos que los últimos números se acercan "peligrosamente" a los obtenidos el otro día. El límite como ya hemos dicho, sería 1.644934...
Naturalmente, una cosa son estas comprobaciones y otra las demostraciones matemáticas, que son lo verdaderamente valioso. Eso si acaso, con lo de obtener los números primos en el mismo programa, para "otro día".

6 comentarios:

  1. Me pierdo un poco entre los primos. Necesitaría una reprogramación completa en mi disco duro.

    Abrazos.

    ResponderEliminar
  2. Primos y sobrinos... Dicen que su número es infinito. Por eso yo me pierdo también a veces un poco. Gracias por haberte tomado la molestia de visitar esta humilde morada. Y perdona que me pierda por estos "altos caminos"; me chiflan los números. Una afición un poco extraña... Si alguna vez me encierran en el psiquiátrico, espero tu visita. :)

    ResponderEliminar
  3. Hola...te vengo a desear un feliz y largo fin de semana...y gracias por tu visita del otro dia ha sido un placer.
    un piquitoooo
    Marina

    ResponderEliminar
  4. Gracias, Norma y Marina, por vuestra visita. Que disfrutéis igualmente del próximo fin de semana.

    ResponderEliminar
  5. Yo no te hablare de numeros,,,te deseo un feliz dia y no menos feliz semana.
    Y te dejo un refregoncito en tu pico.
    Marina

    ResponderEliminar