martes, 17 de abril de 2012

La Conjetura de Goldbach


Conjetura


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La conjetura de Goldbach

Parece mentira, pero estos problemas de matemáticas, cuya enunciación es tan sencilla, que hasta el más tonto de las clase lo puede entender, resultan luego cuestiones irresolubles, que ni los matemáticos más eminentes han podido superar. Uno de esos problemas es la llamada "Conjetura de Goldbach". Goldbach fue un matemático del siglo XVIII, contemporáneo de Euler, que enunció la siguiente conjetura: Todo número par se puede obtener como suma de dos números primos. Se puede comprobar, y se ha comprobado, hasta el orden de los trillones, pero nadie ha podido demostrar que esto tenga que ser necesariamente así. Hay una serie de cuestiones relacionadas con los números primos que traen locos a los matemáticos de todos los tiempos. Una de ellas es la misteriosa distribución de los números primos. Hace años leí una novela en la que un matemático llegaba literalmente a enloquecer tratando de resolver esa cuestión. Al final de su vida parece que encontró la formulita, pero nunca lo sabremos. Lo único que nos quedó fué un saco entero de garbanzos misteriosamente distribuídos, al parecer con cierto orden, sobre todo el suelo de su casa. En ese orden había hallado la solución, tal como se lo comunicó por teléfono a su sobrino poco antes de morir. Pues nada, que un día que yo no tenía nada mejor que hacer cogí un papel lo más grande posible y me puse a encontrar "pautas" de comportamiento en esa distribución. Por supuesto, todo fue inútil, pero encontré algunas regularidades, como cualquiera puede hacer. Los números primos son, en cierto modo, los únicos números enteros, pues todo otro número se puede obtener a partir de ellos por multiplicaciones entre ellos, como sabemos muy bien desde niños por la descomposición de los números en factores primos, aquello que tanto nos divertía y que resultaba la clave para manejar los quebrados.

Pero a lo que íbamos: Por ejemplo, el 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 5+3; 10 = 7+3, 12 = 7+5, 14 = 7+7, pero también 14 = 11+3. Es decir, esa suma no tiene que ser necesariamente única, y las posibles soluciones crecen con el número. Sí se sabe que todo entero par es suma de, como máximo, seis primos.
Hay otra conjetura de Goldbach, que llaman "débil" o "impar", y consiste en que todo número impar se puede obtener como suma de tres números primos. Por ejemplo, 21 = 11+7+3, 31 = 23+5+3. Estas cosas son sencillas de entender y de comprobar, pero nadie ha dado hasta ahora con la demostración "para todo n".
Hay otra cuestión relacionada con estas y es la de los llamados números de Mersenne. Un número de Mersenne es todo número de la forma 2^n - 1. Así son números de Mersenne el 3, el 7, el 15, el 31, el 63, el 127,... Vemos que algunos son primos y otros no. La cuestión se situó en torno a "n primo". Efectivamente, para que el número de Mersenne resulte primo, n debe ser primo. Se comprobó rápidamente que para n=2,3,5,7,13,17,... el número de Mersenne resultaba primo. Cualquiera lo puede hacer. Resultan 3,7,31,127,8191,131071,...todos primos. No lo son, sin embargo, para n=11 ni para n=23.Es decir, no es primo 2047 que es divisible por 23 ni 8388607 que debe ser divisible por algún otro número primo. Hay una manera de demostrar que un número de Mersenne muy elevado es primo sin tener que comprobarlo probando todos sus posibles divisores o factores primos. De esta manera se ha encontrado el mayor número primo conocido hasta la actualidad; es el 2^43112609 - 1. Es un número de 12978189 cifras y fue hallado por Edson Smith en 2008. Calculo que para escribir ese número necesitaríamos toda la calle Uría. Y no olvidemos que según demostró Euclides hace ya muchos años no existe ningún "último" número primo. Es decir, la serie de números primos es infinita. El que quiera contribuir a la empresa de hallar un número primo más elevado que el que tenemos que vaya a esta dirección (aunque solo sea para darse cuenta de que se lo toman en serio):GIMPS. Pero que antes se entere mejor en estas otras direcciones: Mersenne, Conjetura de Goldbach

4 comentarios:

  1. Quizá sea sencilla para ti, para mi es chino. A mi me gustaba la literatura y los comentarios de texto, hubiera sido una de tus malas alumnas... :-(

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  2. No creo que sea tan complicado. Se me ocurrió poner esto porque había estado leyendo sobre ello. Las matemáticas son entretenidas. Lo que a mí me aterrorizaba en los libros de texto es que en los dibujos del libro de Geometría solo ponían debajo fig.3, mientras que en los demás textos ponían un comentario, con nombres y fechas, etc. Ya ves que yo tiraba también más a letras...

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  3. Me parece muy interesante todo lo que dices, máxime cuando hace una semana estuve viendo una película de Gwyneth Paltrow y Anthony Hopkins, se llamaba "La verdad oculta" y te recomiendo verla porque es un peliculón si no la has visto ya.

    Besos, amigo, y que sepas que me encanta seguirte, hasta donde llego, en tus explicaciones.

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  4. Me gustaría ver esa película, pero ahora lo tenemos difícil, con toda esa persecución de la piratería. Gracias por tu comentario, Towanda.

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