martes, 3 de mayo de 2011

Un viaje... V Más sobre el hotel de Hilbert


Todavía hay algo más en el hotel de Hilbert. Imagínate que de repente se presentan ante el hotel infinitas excursiones con infinito número de viajeros cada excursión solicitando alojamiento. Ya sabemos que el chico de la recepción es muy listo. No se inmuta. Por supuesto hay sitio para todos y sin lugar a confusión. Coge el altavoz y comunica a los residentes del hotel la siguiente orden: Todos aquellos cuyo número de habitación resulte de elevar un número primo a una potencia cualquiera trasládense a la habitación cuyo número resulte de elevar ese mismo número primo a un exponente doble del que tenía. Por ejemplo, el que está en la habitación 4, que es 2², se trasladará a la 16, 2⁴; el que está en la 16, 2⁴, a la 256, 2⁸. Y el que está en la 3, a la 9. Luego da a cada una de las infinitas excursiones un número primo (los números primos son infinitos), y a cada viajero un número impar (también son infinitos). Luego asigna a cada viajero la habitación correspondiente al número primo de su excursión elevado a su propio número. Así, la excursión 2: 2¹,2³,2⁵,...2, 8, 32,...No Hay posibilidad de confusión, porque los antiguos residentes estarán en números primos elevados a exponentes pares y los nuevos en números primos elevados a impares. La duda que yo tengo es si quedarán habitaciones vacías. Por ejemplo, ¿la habitación 4, 2²? No pasa nada, es automáticamente ocupada por el de la 2¹. Y la 2 por el primer viajero de la excursión 2. ¿Y la 1? La 1 ya estaba ocupada, como la 6, la 10, etc, que resultan de multiplicar primos entre sí. Así que todos contentos, porque además las habitaciones son todas iguales.
Hablando de otra cosa...Hay infinitos numerables e infinitos no numerables. Creo que Cantor los distinguía muy bien. Todos los infinitos de los que hemos hablado aquí son numerables. También los infinitos números racionales son numerables recurriendo al siguiente truco. Imaginémonos los infinitos números racionales que existen entre el 0 y el 1.¿Cómo los podemos numerar o enumerar? Muy fácil: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5,... Se han eliminado las fracciones reducibles, porque ya están enumerados, como 2/4 y aquellos que son igual a 1, como 3/3. O sea que aunque sean infinitos son numerables. Pero ¿qué pasa con los números irracionales? Ah, eso es harina de otro costal. Porque esos son infinitos, no numerables, un conjunto denso y continuo. Son un infinito de otra clase. El próximo día hablaremos de ellos.
La foto de arriba es de Su y de su increíble huerta. Con todos los permisos del autor. Es un musgo con sus esporangios (las lágrimas).

3 comentarios:

  1. Si yo llego a un hotel (tras un viaje largo) y un niñato me hace que haga esas operaciones matemáticas para darme una habitación, me moriría de risa por estar ante una situación surrealista.
    Pensaría que estoy soñando y que me he dado cuenta de que lo estoy haciendo.
    Bueno, me alegra mucho "verte".
    Un abrazo muy fuerte.

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  2. Es muy sencillo. Tú llegarías, por ejemplo, en la excursión 97 y tu número es el 5, entonces la habitación que te correspondería sería la 8587340257. Lo malo sería encontrarla. A lo mejor tendrías que subir 35 pisos. ;)

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  3. O eso, o pegarle una patadita en el cul* al de recepción. jajajaja
    Otro abrazo.

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