domingo, 1 de mayo de 2011

Un viaje...IV El infinito nunca se agota


¿No has oído hablar del "hotel de Hilbert"? David Hilbert fue un gran matemático, que vivió entre el siglo XIX y el XX. Imaginemos un hotel de infinitas habitaciones numeradas empezando por la 1, la 2, la 3, etc. Todas están ocupadas. Entonces llega un nuevo cliente a pedir habitación. El chico le dice que están todas ocupadas, pero como el cliente insiste, al chico, que es muy despierto, se le ocurre una cosa. Le dice al huésped que espere un momento, que quizás pueda hacer algo. Va al huésped de la primera habitación y le dice que se pase a la segunda, al de la segunda a la tercera, al de la tercera a la cuarta, etc. De esta forma, como hay infinitas habitaciones, queda libre la primera. El infinito, efectivamente, no tiene un último elemento, pero sí tiene un primero.
Tras el primer cliente viene un segundo, y un tercero, etc. Por el mismo procedimiento se les va alojando a todos, aunque al final los clientes debían estar ya un poco aburridos de tanto trasiego. Con esto podemos demostrar que 1 + infinito = infinito, y que 2 + infinito = infinito. Y que en general n -> infinito + infinito = infinito. La cosa está clara, el infinito nunca se llena. Pero hasta ahora hemos hablado de un infinito "sucesivo". ¿Qué pasará si ahora se presenta de repente ante el hotel un mogollón de gente, infinito número de personas, que piden alojamiento, es decir, un infinito "actual", todo de golpe?. No pasa nada, ya hemos dicho que el chico de la recepción es muy listo. Manda pasar al de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6, al de la 4 a la 8, al de la 5 a la 10, etc., de tal forma que el infinito numero de residentes ocupen solo las habitaciones pares y el infinito número de recién llegados ocupen las impares. Es decir que infinito + infinito = infinito.
Hay una segunda parte en este problema. Imagínate que tienes delante de tí una fila infinita de personas, cada una con un euro en su mano. La primera te da un euro, pero a ella se lo pasa la segunda, a la segunda la tercera, etc., de tal modo que un instante después todos, incluído tú, tenéis un euro en la mano. El proceso se puede repetir todas las veces que quieras, n veces, de tal forma que al final saldrás de allí con una fortuna, y, sin embargo, todos los de la fila infinita seguirán teniendo un euro en la mano. El infinito no se agota.
Esto parecen fantasías, pero los matemáticos se lo toman muy en serio, porque están constantemente teniendo que vérselas con el infinito. Porque, como se dice en gaussianos, "n tiende siempre a infinito". Aparte de eso, es muy sugerente todo esto: el infinito nunca se llena, el infinito nunca se agota. Hay sitio para todos, todos caben en el infinito y todavía sobra infinito espacio.
Otro día matizaremos esa diferencia que apunto yo ahí entre el infinito "sucesivo" y el infinito "actual". Creo que sé lo que digo, aunque esa diferencia sea de propia cosecha.

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