sábado, 7 de mayo de 2011

Un viaje... VII Las fracciones egipcias


Seguro que todo el mundo ha oído hablar del papiro Rhind. Yo también, aunque nunca me había ocupado de lo que traía ese papel o papiro. Pero hoy con el libro de Ian Stewart "Baúl de tesoros matemáticos" (Ed. Crítica, 2010) me enteré, por ejemplo, de que los matemáticos egipcios por alguna razón especial estaban empeñados en convertir cualquier fracción propia en una suma de 'fracciones de la unidad' o 'fracciones unitarias', que se dice también. Hasta confeccionaron largas listas con los numeritos adecuados. Me explico: Una fracción propia es aquella cuyo numerador es menor que el denominador, por ejemplo, 3/4. En realidad son las únicas fracciones verdaderas, porque todas las demás son la suma de un entero más una fracción propia. Y una "fracción de la unidad" es aquella cuyo numerador es un 1 y el denominador cualquier número, menos el 1, claro; por ejemplo, 1/121. Pues es curioso; por ejemplo, 6/7 = 1/2 + 1/3 + 1/42. Hay un "algoritmo" llamado "voraz" para hacer esto, algo de lo que ya habló, al parecer, nuestro amigo Fibonacci en su tiempo, pero a veces la expresión en fracciones unitarias se hace por simple intuición. Por ejemplo, 7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8. Es lógico porque 1/2 son ya 4/8, y 1/4 son 2/8; el resto es el 1/8, que nos falta para completar la cuenta. Pero ¿por qué los egipcios tenían tanto interés en reducir cualquier fracción a una suma de fracciones de la unidad? Quizás era la forma en que las manejaban para operar con ellas, probablemente no tenían el concepto nuestro de máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Lo que hoy nos parecen sencillas operaciones de primero de la ESO para ellos eran alta matemática.
De todas formas ese arte de expresar fracciones como sumas de fracciones de la unidad se ha convertido en todo un capítulo de las matemáticas modernas y ya se han enunciado teoremas y formulado conjeturas. No es ninguna tontería; es algo mucho más difícil de lo que hacemos nosotros con las fracciones. En fín, que se lo pasa uno en grande peleando toda una tarde por expresar, por ejemplo 2/17 como 1/12 + 1/51 + 1/68. Las máquinas son capaces de resolver estos problemas, pero a veces dan resultados monstruosos; por ejemplo, para expresar 5/121 dieron este resultado: 1/25 + 1/757 + 1/763309 + 1/873960180913 + ... Bueno, mejor no sigo. Pero los egipcios - o quienes sean en este caso - eran mucho más listos y dieron este otro mucho más sencillo: 1/33 + 1/121 + 1/363. ¡Ay, qué gente los egipcios! Esa expresión o descomposición no es única, como podemos ver. El truco está en restar de la fracción dada una fracción de la unidad que resulte más pequeña que ella, pero lo más próxima posible. Y luego repetir con la que salga el mismo procedimiento. Por ejemplo, dada 3/16 yo opero del siguiente modo: busco el primer denominador superior a 16 que sea múltiplo de 3; evidentemente, 18. 3/18 es necesariamente menor que 3/16 y es unitaria: 1/6. Ahora resto: 3/16 - 1/6 = 1/48. Luego 3/16 = 1/6 + 1/48. Si hubiera restado 1/7, hubiera salido un poco más larga la descomposición: 3/16 = 1/7 + 1/24 + 1/336.
Pero ¿cómo operaban los egipcios? ¿Escribían números en la arena? ¿Usaban ábaco? Yo no tengo ni idea. Sin embargo, el papiro de Rhind está en jeroglíficos y nuestros sabios ¡lo entienden! Y ¿sabes qué antigüedad tiene ese documento? ¡Casi 4000 años!.

6 comentarios:

  1. Enseñar es el placer del saber. ¡Enhorabuena!!
    Un abrazo

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  2. Estoy de acuerdo con tu comentario. Cuando uno ha entendido algo y le gusta, le gusta también comunicarlo. Gracias por tu visita.

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  3. Interesantes tus últimas entradas. Aunque para mi, un poco costosas de entender. Saludos

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  4. vine para darte las buenas noches y agradecerte la visita
    los sueños sueños son ,si uno pudiera tener lo que soñamos a veces.....
    saludos para ti
    Marina

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  5. Hace tanto que no estudio matemáticas que me aturullo un poco para seguirte en las explicaciones... Cómo se nota tu amor a esta ciencia y qué bien me habrías venido, para darles clases particulares a mi hija, jajaja.

    Un abrazo.

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  6. Me hubiera encantado darle clases a tu hija, seguro. ;)

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