martes, 26 de abril de 2011

Un viaje...III El problema de Basilea


Hemos hablado del "misterioso" número pi. Este número te lo encuentras donde menos te lo esperas. ¿Será una constante del Universo? Bueno, es un decir. Por de pronto es un número trascendente, lo mismo que el otro hermano de fatigas, el número e, lo cual quiere decir que no es solución de ninguna ecuación algebraica de coeficientes racionales.  Voy a poner un ejemplo donde "sorpresivamente" aparece el número pi. Es el célebre problema de Basilea. Esto también lo leí en mi librito. Así que no se crea nadie que yo soy algo así como un sabio. El que quiera saber más que busque en Wikipedia.
El problema de Basilea no es otra cosa que una serie sencillita, la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales: 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ... Es fácil demostrar que esta es una serie convergente y podemos calcular su límite aproximadamente tomando muchos términos. Así, por ejemplo, con ese programita en Python que pongo ahí abajo calculamos la suma de 10000 términos. Pero la serie converge muy lentamente y en los años en que se propuso, allá a mediados del siglo XVII, varios matemáticos habían abordado el problema, entre ellos Bernouilli y Leibnitz, sin lograr encontrar el límite exacto. Fue Leonhard Euler a sus 28 años, en 1735, el que dió con la respuesta, y la respuesta es sorprendente: pi^2/6. Uno se pregunta qué tendrá que ver el número pi con los inversos de los cuadrados y su suma infinita. Pues así es la cosa. Hasta el autor del librito de las 101 preguntas, matemático profesional, se admira. La demostración de Euler no la vamos a poner aquí. El que la quiera ver que busque en demostracion. También está muy bien en gaussianos.

#!/usr/bin/python
n=1
a=0
suma=0
while n<10000:
a+=1
a=float(a)
suma+=1/a**2
n+=1
print suma

Con 10000 términos sale: 1.64483406185. El límite, según mi calculadora, es: 1.644934067. O sea que todavía tendríamos que coger algunos términos más, pero tratándose de un número irracional el número de cifras es infinita y sin período ninguno. Asi que...
Otro día seguiremos contando cosas de mi librito.

4 comentarios:

  1. Los números son el idioma de la naturaleza y pi el orden del caos.
    Un abrazo..., he vuelto.

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  2. Bienvenida, Ana María. Ya nos contarás algo.

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  3. .gracias amigo Asturiano por tu visita a mi blog ...muy interesante lo de los numeros y tendre que hacerme el animo y viajar a Wikipedia para aprender cosas que aun no sé,
    un abrazo amigo de una Leonesa.
    Marina

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  4. Madre mía, el número Pi, me recuerda el instituto... ¡Cuántas cientos de miles de horas se le habrán dedicado a este número desde la Antigüedad!.

    ¿Podría "Pi" conseguir que la obra de mi casa tardara un poco menos de los dos meses que me están diciendo?

    Un abrazo.

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