lunes, 25 de abril de 2011

Un viaje...II: La fórmula más bella de las matemáticas



Otra cosa bonita que he leído es la siguiente: ¿Cuál es la fórmula matemática más bella del mundo? Algo así, como ¿a quién entre las numerosas y bellas fórmulas matemáticas se puede proponer como "miss Universo"? No es ninguna broma, esta pregunta se hizo hace algunos años en una revista matemática y por abrumadora mayoría salió esta:
e^(i*pi)=-1

El acento circunflejo significa "elevado a". "pi" es el número pi. Todavía no he aprendido a utilizar aquí signos matemáticos... La fórmula bien escrita la tenemos ahí arriba. A los "no iniciados" probablemente no les diga nada. ¿Por qué es bella? A los matemáticos les gusta más todavía puesta así:

e^(i*pi)+1=0

porque así aparecen en ella cinco signos muy "matemáticos", muy significativos y de larga historia: el 0 y el 1, el número e, la unidad de los números imaginarios i, igual a raíz de -1, y el misterioso número pi. Ya diremos otro día una de las razones por las que ese número es misterioso. Y la fórmula es bella por su concisión y brevedad y porque relaciona entre sí cosas aparentemente distintas; y además por su trasfondo, puesto que está aludiendo a todo un campo fecundo de las matemáticas, el de los números complejos.
Para los no iniciados vamos a decir que  e^(i*pi)  no se puede calcular directamente. Intentemos elevar el número e a raíz de -1 con la ayuda de una calculadora y nos llamarán de todo. Entonces ¿qué significa esa ecuación? Bien, se puede demostrar fácilmente que, siendo x una variable,

e^(ix)=cos(x)+i*sen(x)

Mejor escrita:

¿Por qué he dicho que eso es fácil de demostrar? Pues porque  desarrollando en serie esas tres funciones se ve enseguida: la una es la suma exacta de las otras dos. Ese desarrollo en serie es fácil, porque se hace a base de derivar sucesivamente y aplicar la fórmula de Mac Laurin. Si acaso otro día lo ponemos aquí.
De esta fórmula es fácil deducir la de arriba, la "reina", puesto que para x = pi, seno(pi) = 0 y coseno(pi) = -1.
Ahora, lo difícil de entender es qué tendrán que ver entre sí esas funciones. Esas coincidencias extrañas y misteriosas es lo que a uno le deja pensativo. Ese es el encanto de las matemáticas...
La foto de arriba está tomada desde el Aramo sobre el valle de Santa Eulalia, un valle encantador, con el monte de la Magdalena a la derecha, el "mons cinctus" de los romanos.
Después de leída esta entrada - han pasado años - me acordé de algo que había encontrado en Wikipedia; ahí va:
 La fórmula a la que se refiere ahí es la identidad de Euler que preside esta entrada.
Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, \ln(-4) podemos proceder de la siguiente manera:
\ln(-4) = \ln(-1) + \ln(4)
Sabiendo que \ln(-1)=\pi i:
\pi i + \ln(4) \!

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