miércoles, 25 de noviembre de 2009

Desarrollos en serie




Pues qué te voy a contar hoy. Hoy es el típico día asturiano, de nubes bajas, lluvia fina, día de paraguas. Se prestaría a hacer meditaciones "al amor de la lumbre", pero no se si tendré mucho tiempo, porque las meditaciones matemáticas exigen una cierta desocupación, que por cierto es la madre de todos los saberes. Me refiero a la desocupación. También a las matemáticas. Aquellos gloriosos desocupados del Ágora griega trazando en la arena con sus bastones figuras y discutiendo sus propiedades es una de mis imágenes preferidas. Fijémonos que toda la geometría griega, la clásica, está hecha con regla y compás; no hay más instrumentos. Se podría titular "lo que se puede hacer con regla y compás". Y toda la física newtoniana, con regla, compás, balanza (o dinamómetro de resorte) y reloj. Pensar que esos admirables edificios tan bien trabados, tan bellos y útiles, fueron construidos con tan mínimos elementos causa asombro. Claro, son "hijos del humano ingenio". Todo lo demás es puro pensamiento, lógica y agudeza. Y, por supuesto, un trabajo inmenso y una colaboración amplia y desinteresada. Admiramos las obras de los hombres: las obras arquitectónicas y de ingeniería, la pintura y la escultura, las obras literarias, la música, etc., pero también debiéramos admirar esos imponentes edificios de las ciencias y las matemáticas, tan bellos, tan coherentes, tan racionales. Es como un juego, un supremo juego: partiendo de unos pocos axiomas y de unas "reglas de juego" hasta dónde se puede llegar... Pues bien, nuestras queridas matemáticas. Hoy voy a iniciar, solo a iniciar, el tema de los desarrollos en serie. En su momento me causó asombro (y me lo sigue causando). Yo me había preguntado muchas veces cómo se construyeron las tablas de senos y cosenos y de logaritmos que diariamente usábamos en la resolución de problemas. Conocía las famosas fórmulas de McLaurin y de Taylor, pero me temo que no sabía para qué servían. Pues un día encontré el libro adecuado en que me explicaban que cualquier función por alambicada que fuese podía desrrollarse en "serie de potencias de términos positivos". Y además resulta tan fácil... Basta saber derivar mínimamente. El primer desarrollo que estudié fue y=e^x Debe ser el más sencillo posible, porque la derivada de e^x es siempre la misma, e^x. Pero tuve la satisfacción de encontrar la manera de sacar decimales al número e sin límites. El famoso y misterioso número 2,718281828... A continuación me ensayé con y=sen x, y encontré el truco con el que se habían construído las tablas que nos permitían resolver problemas de trigonometría. Yo tengo una calculadora mítica - debe ser una de las primeras - que compré en Canarias hace 34 años. Es una Sanyo. Y yo observaba que cuando le pedías este tipo de funciones, seno, coseno, logaritmo, etc., tardaba un poco y parpadeaba durante unos segundos antes de darte la respuesta, como si lo estuviera calculando. Le pregunté a un profesor de informática si la calculadora tenía las tablas incorporadas en alguna memoria o debía de hacer el cálculo a pulso cada vez. No me supo responder. Pues parece ser que, efectivamente, nuestras calculadoras hacen el cáculo cada vez con los algoritmos adecuados y fundándose en los desarrollos en serie que son la panacea. Pues la imagen corresponde a Euclides de Megara, cuyos Elementos fueron libro de texto de Geometría en Occidente durante 2000 años.

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