lunes, 19 de octubre de 2009

Meditaciones al amor de la lumbre


Siempre me intrigó esto de los infinitésimos. ¿Qué es un infinitésimo? Es una cantidad que tiende a cero; con otras palabras una cantidad que puede llegar a ser menor que cualquier otra dada, por pequeña que sea, si en una sucesión tomamos un término suficientemente avanzado. Es decir, dada una cantidad todo lo pequeña que sea, a partir de un determinado término, del término enésimo, yo puedo obtener otra siempre menor que la dada. El ejemplo típico es el de la sucesión de término general 1/n. La sucesión sería: 1, 1/2 , 1/3, 1/4 ,... En números decimales: 1; 0,5; 0, 33; 0,25... El centésimo término sería 0,01; el siguiente ya sería menor que éste. Bueno, estas son cosas de sobra sabidas. La noción de infinitésimo aparece también en el concepto de límite de una función, concepto capital en las matemáticas. Aquí en pocas palabras diríamos que L es el límite de f(x) cuando x tiende a un determinado valor, por ejemplo, a, de cualquier manera que tienda, “si dado un épsilon tan pequeño como se quiera siempre existe un delta tal que...”. Bueno, para decirlo con palabras sencillas, para una distancia suficientemente próxima a a, es decir, para un valor de x suficientemente cercano a a, la función se acerca al límite L tanto cuanto queramos. Con estos conceptos hemos peleado todos los que nos hemos dedicado algo a las matemáticas, sobre todo si hemos tenido que enseñarlas a otros. A lo mejor no lo digo muy exactamente, pero creo que la idea la tengo clara. Luego resulta que todo son límites: la derivada de una función en un punto es un límite, las integrales son límites,... Estas nociones no surgieron de repente. Parece que los mismos creadores de ellas, todo aquello de las “fluxiones” y de los “incrementos finitos”, Newton, Leibnitz, Mc Laurin, Taylor, Lagrange..., verdaderos genios, tampoco lo tenían tan claro. Creo que de hecho se necesitaron como cien años para aclararse. Así que eso me consuela. Yo ya llevo unos cincuenta años dándole vueltas... ¡Qué gran contribución hicieron a la matemática y a las ciencias en general aquellos grandes entendimientos! Esta noción de infinitésimo lleva consigo la de continuidad, con la que trabajamos en el Cálculo infinitesimal. En el fondo es el viejo tema de la aporía de Aquiles y la tortuga. El espacio y la distancia son infinitamente divisibles, los puntos de una curva son infinitamente próximos. Pero esto ¿no es una abstracción? Digo yo que el infinito surge en matemáticas porque tenemos una forma de contar que nos permite contar sin límite; nuestro sistema de contar viene a ser circular, repitiendo en ciclos de diez unidades y ampliando el orden. Como eso no tiene límite,... Pues de la misma forma el infinitésimo no depende más que de nuestro sistema de contar: lo mismo que podemos formular una cantidad todo lo grande que queramos, podemos formular también una cantidad todo lo pequeña que queramos, es decir, un infinitésimo, e imaginar que las curvas son continuas, que varían por pasos infinitamente suaves y graduales. Pero ¿es así en la naturaleza? Me parece que no. Contra lo que decían los escolásticos, aquello de que “natura non facit saltus”, me parece que sí que los hace; todo eso de los cuantos,... y de los átomos. La materia y la energía son discontinuas, varían a saltos, aunque estos sean muy pequeños, pero no “infinitesimales”. Pues ya te digo,... Pero ¡qué bellas son las curvas de la matemática! Esas funciones ideales, paradigmáticas, a las que se parecen tanto las reales, las de la naturaleza. Yo me sigo preguntando si en el fondo la naturaleza no es como un inmenso proyecto matemático. Hay cosas que te intrigan tanto... O a lo mejor lo que es matemática es nuestra visión, nuestra representación, de tal manera que la realidad que nosotros observamos y medimos no es más que un reflejo de nuestros propios conceptos. Temas para meditar. Creo que Einstein o no sé quién advertía que nuestro cerebro de todos modos también pertenece a la naturaleza. Pensamos así, porque somos así.

2 comentarios:

  1. Está muy bien expresado. Lo que pienso es que la matemática es la herramienta por la que mejor vamos conociendo la naturaleza. Y lo que nos queda por conocer. En el bachillerato se vive muy bien pensando que no hay más que cuerpo de complejos y de reales (de dimensión uno).. pero hay infinitas dimensiones y otro tipo de cuerpos!

    No sé si era Descartes el que decía que Dios debía de ser matemático.


    Marta

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  2. mariohevia@hotmail.com19 de octubre de 2009, 15:09

    Me he quedado más intrigado todavía. Creo que estoy de acuerdo con eso de que la matemática es la mejor herramienta para conocer la naturaleza o al menos para describirla y controlarla, pero con eso de las "infinitas dimensiones y otro tipo de cuerpos" me has dado un vuelco a la cabeza. Creo que sé a qué te refieres... No sé quién me dijo que en el siglo XX se había progresado más en las matemáticas que en toda la historia anterior. Pero esta matemática más reciente me parece que se me escapa. Lo de que Dios es un gran matemático tengo entendido que es de Dirac, mucho más próximo a nosotros en el tiempo. Y que curiosamente en su juventud iba por ahí de ateo. Bueno, seguiremos haciendo meditaciones al amor de la lumbre. ;) Gracias por tu comentario, Marta.

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