miércoles, 19 de agosto de 2015

El delirio de un enfermo


Como no hay mejor manera de entretener nuestros ocios que con las matemáticas vamos a discurrir hoy sobre algo que me viene a la mente estos días: El infinito.
Este es un concepto apasionante. Quizás no nos damos cuenta de que en matemáticas nos lo encontramos por todas partes. Ya en el concepto de número natural o entero aparece, como la posibilidad de contar sin límite, gracias a nuestro sistema de numeración. Quizás los antiguos no tenían muy clara esta idea, aunque en Arquímedes ya aparece claramente. Digo que los antiguos quizás no tenían ese concepto porque sus sistemas de numeración eran pesados y limitados. Pensemos, por ejemplo, en la numeración romana. Los grandes números son ya casi imposibles de escribir y de pensar en ese sistema. Por supuesto, es fácil imaginar que, dado cualquier número, siempre podemos añadir "más uno". Nada nos lo prohibe. Aquí me viene a la cabeza lo del principio de inducción, tan matemático, "si algo es cierto para un determinado número y lo es para el siguiente..." entonces es cierto para "todo n". Eso del orden y la sucesión, todo montado sobre esa cadena irrompible e inacabable de los números naturales es el mismo nervio de las matemáticas.
Hay como dos o tres clases de infinito, me parece a mí. Una primera clase pertenece a la de los números naturales y significa que no hay un último número. Euclides demostró ya en la antigüedad que no solo no hay un último número, sino que los números primos, que no son todos los números, sino solo algunos y cada vez más escasos, según vamos avanzando en la cuenta, también son infinitos.
Otra clase de infinito viene dada por los números racionales, un infinito como local, que podríamos enunciar así: En un intervalo cualquiera, entre dos números cualesquiera por próximos que estén, podemos intercalar infinitos número racionales. Pensemos, por ejemplo, cómo entre el cero y el 1 caben las infinitas fracciones propias que puedas imaginar: 1/2, 1/3, 1/4,...367/368,...
Pero aún así, el conjunto de estos infinitos elementos es "discreto", es decir, hay distancia o salto entre cada dos fracciones por infinitamente próximas que estén. Además es "enumerable"; es decir, se pueden nombrar y ordenar fácilmente para cualquier conjunto de números dados. Se suele decir que no "llenan" los infinitos puntos de la recta "real".
Y por fin viene la última clase de infinitos, la de los números "irracionales". Aquí sí que entramos en el "misterio". Esta clase de números ya conmovió las ideas matemáticas en la antigüedad con la aparición de las magnitudes "incomensurables", como la raíz de 2 o el número Pi. Se trata de un conjunto "denso", "continuo", absolutamente infinito, que diríamos que no solo "llenan" la recta real, sino todo el espacio. Son la base misma de toda la matemática creada desde el siglo XVII hasta nuestros días. Ahí juega un papel extraordinario la noción de límite, verdadero pilar de todo el que luego se llamó Análisis, que apareció con el cálculo de sucesiones y series. Aquí aparece la noción de "infinitésimo" que ha traído al retortero a tantos estudiantes y que quizás sea la noción más difícil de captar y manejar.
Podríamos decir que el conjunto de los números reales está formado por un "océano" de números irracionales donde flotan dispersos los números racionales y enteros, que, sin embargo, también son infinitos.
Bien, todo esto a propósito de la noción de infinito en matemáticas. Para terminar se nos viene a la cabeza nuevamente aquella pregunta de si la "continuidad" es algo "natural", real, objetivo, o una mera noción nuestra, una especie de definición, un "sueño de la razón".

viernes, 11 de julio de 2014

Sobre el veraneo




Vamos a volver a nuestras consideraciones y filosofías antes de que se me olvide hasta de cómo se escribía en un blog.
Se me ocurre hoy comentar algo acerca de esto del veraneo. Las vacaciones de verano hoy día son una institución. A nadie se le ocurre siquiera pensar que podrían no existir. De hecho son un "invento" muy reciente, si las pensamos como algo general a lo que todo ciudadano libre tiene derecho a disfrutar. Más aun, el que no veranea o no coge vacaciones se considera un pobre desgraciado.
Pero veamos un poco - hasta donde llega mi información - de donde viene esto del veraneo. En épocas muy recientes todavía no veraneaban más que los señores y parte de la burguesía de las ciudades. La población era preminentemente rural y en verano precisamente era cuando más trabajaban. El verano era la época de la siega del trigo y otros cereales y de la trilla; trabajo duro y sucio por el polvo que se levantaba. En Asturias era la época de la siega de los prados, de la recogida de la hierba y el almacenamiento en las "tenadas". Entonces no había maquinaria y todo se hacía a mano. Luego estaba también la recogida de la fruta, el "cuido" del ganado. En fin, que la población en general no estaba para muchos ocios.
Las playas son hoy día el exponente por excelencia de eso que llamamos vacaciones de verano, pero yo todavía me acuerdo de ver esas playas desiertas durante casi toda la semana, pues solamente los domingos se animaban un poco con las gentes de las ciudades y pueblos grandes del interior que, según decían en Gijón, venían a quitarse el carbón de la mina. Porque en las minas y en las fábricas me parece que tampoco conocían vacaciones, como no fueran unos pocos días al año. Pero de esto ya no estoy muy seguro. Pero, desde luego, las fábricas no podían parar.
Según leí en alguna parte esto de las vacaciones de verano lo inauguraron los nobles - concretamente se señala alguna región de Italia - que por el verano, allá por el siglo XVIII, debido precisamente a las labores de recogida de los campos, iban desde las ciudades donde vivían a cuidarse de sus haciendas y vigilar sobre el terreno la marcha de los trabajos. Naturalmente acabaron llevándose a sus familias, lo cual trajo consigo que por las noches después de cenar buscasen unos con otros alguna manera de entretenerse. Así nacieron los "saraos", los conciertos musicales, los juegos de sociedad, y, en general, el buen ambiente que desde entonces caracterizó el verano. Allí nacieron también los romances entre los jóvenes, los paseos por el campo, las excursiones de montaña y todo lo demás que luego se recordaba durante todo el frío y crudo invierno. Esta es una teoría.
Hay más teorías que no contradicen a la anterior sino que la completan. Por ejemplo, algunos dicen que, debido precisamente al trabajo del campo, en las universidades y otros centros de enseñanza se interrumpían los estudios para permitir a los jóvenes ir a ayudar a sus padres a las aldeas.
También se dice que con la moda de "ir a tomar las aguas", el auge de los balnearios, la alta burguesía se aficionó a dedicar todos los años una temporada a los baños y de paso disfrutar de la vida social de aquellos centros especiales. Luego, la recomendación de tomar las aguas se extendió al agua del mar. Como esto se consideraba de buen tono y de cierto nivel, la gente empezó a presumir de tomar el sol y se puso de moda el bronceado...
En fin, como vemos, el tema es muy amplio y complejo. Yo para mis adentros también suspiro por el verano, pero "el hombre tiene sus limitaciones", como diría aquel.

lunes, 10 de febrero de 2014

Pino Calvi


Puestos a escribir un poco de todo hoy nos podemos dedicar a la música, música buena, superlativa: El piano de Pino Calvi y su orquesta. Temas oidos desde siempre, melodías que no pasan, de hace más de cincuenta años, bien armonizados, interpretados, orquestados, con su toque de Jazz. Buen ritmo, buena línea del bajo y un piano soberbio, con un gusto exquisito. Ese truco de "hacer resbalar" las notas de la melodía con los semitonos más próximos es muy del jazz, es el que le da ese sabor inconfundible. Eso lo hacen también los saxofonistas; es como una especie de vacilación, como si buscaran la nota. Por cierto que la música asturiana tiene algo parecido, inimitable y que no se puede escribir sobre una partitura; son vacilaciones sobre la nota de la misma manera que hay variaciones sobre un tema... Música para aquietar el ánimo y embellecer el ánima. Por cierto, Pino Calvi murió hace ya casi 25 años y estos discos son de los años sesenta, aquellos discos de vinilo y microsurco, eso sí, "rehabilitados" o como se diga. Verdaderas joyas.

viernes, 7 de febrero de 2014

Max Planck y las unidades físicas


¿Se pueden definir exactamente las unidades fundamentales de la física de una forma invariable, de tal forma que aun personas de cualquier civilización ajena, extraterrestre, las pudieran comprender y adoptar? Pues parece que sí. Fue lo que propuso Max Planck al principio del siglo XX utilizando tres constantes universales: La llamada constante de acción de Planck, h, la constante universal de la gravitación de Newton G, y la velocidad de la luz, c. Así, por ejemplo, raiz cuadrada de (Gh/c³) resulta ser igual 3,99*10⁻⁽³⁵⁾metros, o para redondear a 4 elevado a -35 metros. De la misma manera podemos definir el kilogramo y el segundo. Sabemos que toda la mecánica newtoniana está construida exclusivamente con solo estas tres dimensiones. O dicho con otras palabras, con solo tres instrumentos de medida: el metro, el reloj y la balanza. Y si añadimos la constante de Boltzmann, podemos expresar también el grado Kelvin de temperatura absoluta. Puede ser un buen ejercicio de ecuaciones dimensionales demostrar que, por ejemplo, Gh/c³ tiene las dimensiones de una longitud al cuadrado. Efectivamente: G tiene MLT⁻²L²M⁻² de ecuación dimensional y h tiene MLT⁻²LT. Combinándolas: MLT⁻²L²ML²T⁻¹M⁻²/L³T⁻³. Se cancelan todas excepto L². De la misma manera demostraríamos que ch/G tiene las dimensiones de kilogramos al cuadrado y que Gh/c⁵ tiene las de segundo al cuadrado. Por último la raiz cuadrada de c⁵h/G multiplicado por la inversa de la constante k de Boltzmann tendría la de una temperatura. Se supone que en cualquier civilización avanzada esas constantes serían de sobra conocidas, más aun, se supone que sobre ellas está construido el Universo. Para terminar de armar todo el tinglado quizás tendríamos que añadir algún numerito más, como la carga del electrón, la masa en reposo del protón... así como alguna otra constante matemática, como el número pi, el número e y, cómo no, nuestro amigo el número phi. Son números misteriosos que aparecen donde menos te los esperas. Por algo será.
Así que parece que - como ya sospechaba Pitágoras - los números rigen el mundo. o como decía la Biblia, "lo hiciste todo conforme a número y medida".
Ah, la foto salió creo que en El Comercio de Gijón o es de Google, no me acuerdo. Hace una buena alusión al temporal que estamos padeciendo por estas fechas en la cornisa cantábrica. Si solo fuera un espectáculo... pero causa daños y no pocos.
Ya redactada esta entrada, a partir de una página que encontré en "Max Planck, la Teoría cuántica" de RBA Ediciones - una buena colección de biografías de científicos y teorías - me encontré con esta página de Wikipedia. Recomendada.

jueves, 28 de noviembre de 2013

Más sobre dígitos de comprobación


Puestos a ello vamos a rematar el tema de los números del DNI, NIF, y cuentas bancarias. Estas llevan cuatro números: 4 dígitos para la entidad, 4 para la sucursal, 2 de control y 10 para la cuenta. Los dos dígitos del control se obtienen por medio de un algoritmo un poco complicado que se detalla en Wikipedia. El primero de esos dígitos corresponde a Entidad-Sucursal y el segundo a Número de cuenta. Yo lo he comprobado con cuentas reales y ¡funciona! O séase que si te dan un número de cuenta haces las operaciones pertinentes - a mí me lleva cinco minutos a mano - y compruebas si te están engañando. Ya decía yo que estos de los bancos son muy listos.

martes, 26 de noviembre de 2013

A propósito del DNI y del NIF


Dándole vueltas a los números que "rigen nuestra vida" en esta sociedad que nos ha tocado vivir: el DNI, el NIF, y los números de cuenta de los Bancos. Hay una manera de comprobar - muy fácil - si el número del DNI que te dan es falso. Es la letra final. Dividimos el número, sin la letra, claro, por 23. El resto corresponde a una letra mayúscula según una tabla dada. Para más detalles ir a Wikipedia. Podemos ejecutar el siguiente programa:

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int dni;
cout << "Introduce el DNI: ";
cin >> dni;
cout << "TRWAGMYFPDXBNJZSQVHLCKE"[dni % 23] << endl;
return 0;
}

El programa está escrito en C++ Se copia en un editor, se compila con g++ y se ejecuta con ./a.out
Si nos fijamos en las letras, si el resto es 0 la letra es T, si 1 la letra es R, etc.
Si el resto es, por ejemplo, 10, como es mi caso, la letra de control es la X. Si te dicen, por ejemplo, que el número de identidad es 10765223 y la letra C, te están dando un número falso. Tendría que ser la G.
En el caso del NIF la cosa es un poco más complicada. Lo que viene a continuacoión lo cogí del Wiki y ¡funciona! Lo he comprobado.
En el caso de NIF que no son obtenidos a partir del DNI o NIE, el dígito de control se obtiene utilizando el número de 7 cifras, excluyendo la letra inicial y el último dígito, puesto que es el que vamos a validar.
Procedimiento:
1. Se suman las posiciones pares de los 7 dígitos centrales, es decir, no se tiene en cuenta la letra inicial ni el dígito de control. (Suma = A)
2. Por cada uno de los dígitos de las posiciones impares, se multiplica el dígito por 2 y se suman las cifras del resultado (p.e. si el dígito es 6, el resultado sería 6 x 2 = 12 -> 1 + 2 = 3). Se repite la operación con todos los dígitos en posiciones impares y se suman los resultados. (Suma = B )
3. Sumar el resultado de los 2 pasos anteriores. (A + B = C)
4. El último dígito de la suma anterior (C) se lo restamos a 10, cuyo resultado sería el dígito de control (p.e. si C = 14, el último dígito es 4, por lo que tendríamos 10 - 4 = 6). Si el último dígito de la suma del paso anterior es 0 (p.e. C = 30), no se realiza resta y se toma el 0 como dígito de control.
Si el dígito de control es un número, este sería el resultado de la última operación. Si se trata de una letra, se utilizaría la siguiente relación:
número obtenido -> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
dígito de control -> A B C D E F G H I J

sábado, 28 de septiembre de 2013

Sobre el latín


Es una pena que el latín pase a ser una "materia especializada".
Con los planes de enseñanza de este pais desde hace 30 años para aquí el latín ha ido siendo marginado hasta constituir una materia  solo para algunos; y aun esos privilegiados solo consiguen arañar un poco su superficie, pues ya me dirán Vds. qué se puede hacer en un par de años en el bachillerato de estudio de latín, un estudio que más bien queda reducido a "cultura y literatura latina" que al idioma propiamente dicho.
Hace algunos días me dió por refrescar mis estudios de latín con una gramática de hace más de 60 años, aquellas gramáticas serias, completas, con ejercicios de traducción y vocabularios, y he quedado de nuevo maravillado de la "majestad" del latín. El latín parece ser un idioma ideal para hacer frases concisas, sonoras, completas, firmes, bellas. ¿A quién no le gusta oír un proverbio latino? El latín es ideal para formular leyes, principios, dogmas; para escribir títulos, memorias, historia, epitafios. Parece un idioma hecho para ser grabado en piedra o en bronce. La belleza del latín... En latín se expresó durante dos mil años la Iglesia Católica para formular sus leyes, ritos, dogmas, documentos y tratados. Y desde que ha dejado de hacerlo parece que ya no es la misma - en algún sentido, claro -. En latín escribieron Descartes, Leibnitz y Newton todavía en el siglo XVII. Y, la verdad, si muchos de mi generación y de las anteriores hemos llegado a saber algo de gramática y sintaxis española ha sido a través del latín, porque lo que es gramática española yo no recuerdo siquiera haberla estudiado alguna vez y no sé cómo se la podría estudiar sin el trasfondo de esa lengua tan completa y robusta como es el latín.
Constituye también un gran estímulo poder llegar a leer a Cicerón, Julio César, Virgilio, Ovidio, Horacio,... en su propio idioma. Esto constituyó durante muchos siglos la base de la formación humanística de todos los universitarios de Europa. Saber latín no era cualquier cosa. Poder apreciar, por ejemplo, la poesía latina bien medida y poder recitar aquellos versos inmortales constituía una meta no poco codiciada.
Cuando se discute este tema del latín y el griego siempre me encuentro con la misma respuesta: ¿Para qué sirve? Pues yo tengo una respuesta simple y certera: Para comprender y poder expresarte correctamente y con seguridad - y sobre todo escribir - en tu propio idioma. E incluso para pensar, porque parece que cuando pensamos estamos haciéndolo también con la ayuda del lenguaje. Si ni siquiera sabes hablar ¿qué pensamientos tan turbios pasarán por tu cabeza?
De todos modos reconozco que el estudio del latín exige no poca constancia y esfuerzo. Solo los que se empeñan pueden llegar a dominarlo completamente.
Y para terminar un proverbio latino famoso: "Hoc volo, sic jubeo, stet pro ratione voluntas".
Qui potest capere capiat...